선형 대수에서 특이값 분해(SVD)는 실제 또는 복잡한 행렬의 분해입니다. 극성 분해의 확장을 통해 임의의 m × n {displaystyle mtimes n} 매트릭스에 양극 반정법 정규 행렬(예를 들어, 양수 고유의 대칭 행렬)의 고유 분해의 일반화이다. 그것은 신호 처리 및 통계에 많은 유용한 응용 프로그램이 있습니다. 컴퓨터 코드를 포함한 전체 예제는 아래 예제 섹션에서 해결됩니다. 위의 단지 건조, 기술적 인 설명입니다. 그것은 우리에게 방법이 무엇을하고 있는지에 대한 직관적 인 느낌을 제공하지 않습니다. 따라서 두 차원에서 가장 간단한 예제를 가정해 보겠습니다. 그것은 더 높은 치수에 매우 자연스럽게 일반화. Statsbot 팀의 친구인 피터 밀스는 이러한 방법을 “전동 공구”라고 부릅니다. 우리는 그에게 이러한 도구 중 하나인 단수 값 분해 또는 SVD에 대해 예제와 응용 프로그램과 함께 알려달라고 요청했습니다. 아래 대화형 프로그램은 특이값 분해(SVD)를 사용하여 직사각형 행렬의 분해를 생성합니다.

더 낮은 단수 값을 0으로 설정하여 결과를 트렁킨수도 있습니다. 이 기능은 기능 선택(예: PCA 및 MDS)에 유용합니다. 임의 예제 단추는 임의의 직사각형 행렬을 생성합니다. 고유한 입력 행렬을 사용해 보십시오. 그림과 같이 특이값은 2D로 타원의 반축으로 해석될 수 있습니다. 이 개념은 n 차원 유클리드 공간으로 일반화 될 수 있으며, n 차원 타원 매트릭스의 단수 값은 n 차원 타원의 반축으로 간주됩니다. 마찬가지로, 임의의 m×n 행렬의 특이값은 m차원 공간에서 n차원 타원의 반축으로서, 예를 들어 3D 공간에서 (기울어진) 2D 평면에서 타원으로서 볼 수 있다. 자세한 내용은 아래를 참조하십시오. 분리 가능한 모델은 종종 생물학적 시스템에서 발생하며, SVD 분해는 이러한 시스템을 분석하는 데 유용합니다. 예를 들어, 일부 시각적 영역 V1 단순 셀의 수용 필드는 공간 도메인의 Gabor 필터에 의해 시간 도메인의 변조 함수를 곱하여 잘 설명할 수 있습니다. 따라서, 예를 들어 역상관을 통해 평가된 선형 필터를 감안할 때, 두 공간 치수를 하나의 차원으로 재배열하여 SVD를 통해 분해될 수 있는 2차원 필터(공간, 시간)를 산출할 수 있다.

SVD 분해에서 U의 첫 번째 열은 가버이며 V의 첫 번째 열은 시간 변조를 나타냅니다(또는 그 반대의 경우도 마찬가지). 그런 다음 분리성 인덱스를 정의할 수 있으며, SVD의 또 다른 응용 프로그램은 매트릭스 M의 범위 및 null 공간의 명시적 표현을 제공한다는 것입니다. M의 사라지는 특이값에 대응하는 오른쪽 단수 벡터는 M의 null 공간과 M의 0이 아닌 단수 값에 해당하는 좌측 특이벡터가 M.e.의 범위에 걸쳐 있으며, 상기 예에서는 null 공간이 마지막 두 개의 범위에 걸쳐 있습니다. V 열과 범위는 U의 처음 세 열에 걸쳐 있습니다. 그런 다음 m> n(예에서와 같이 A의 모양은 (3, 2)), U(m x m)입니다. 시그마 (m x m) . V ^T (n x n)가 될 것입니다 : U (m x m). 시그마 (n x N) . V^T(n x n) M이 m × n 행렬이라고 가정하면 그 항목은 실제 숫자의 필드 또는 복잡한 숫자의 필드인 필드 K에서 옵니다. 그런 다음 M의 특이값 분해가 존재하며, SVD가 누락된 데이터를 전혀 통합할 수 없기 때문에 SVD 형태의 분해도 매우 희소한 등급 행렬에 적합하지 않다. YOu는 데이터가 누락되지 않도록 값을 제공해야 합니다.

누락된 값에 0 또는 사용자 또는 항목의 평균 또는 전역 평균을 임의로 할당할 수 있습니다. 그러나 SVD에 사실이 아닌 것을 말하고 있으며 SVD는 실제로 존재하는 정직한 데이터인 것처럼 거짓말을합니다. SVD는 제공하는 값만 실제 실제 값인 것처럼 통합할 수 있습니다.